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已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX =0的一个基础解系．
已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX =0的一个基础解系．
admin
2021-01-19
48
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β
1
=α
1
+tα
2
，β
2
=α
2
+tα
3
，β
3
=α
3
+α
4
，β
4
=α
4
+tα
1
，讨论实数t满足什么关系时，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也是AX =0的一个基础解系．
选项
答案
由Aβ
1
=A(α
1
+tα
2
)=Aα
1
+tAα
2
=0+0=0，知β
1
为Ax=0的解，同理可知β
2
，β
3
也都是Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含4个向量，故β
1
，β
2
，β
3
，β
4
为Ax=0的一个基础解系，当且仅当β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关． 设有一组数x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，使得 x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
+x
4
β
4
=0 即 (x
1
+tx
4
)α
1
+(tx
1
+x
2
)α
2
+(tx
2
+x
3
)α
3
+(tx
3
+x
4
)α
4
=0，由于α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，故 [*] 方程组(*)的系数行列式为 [*]=1+(一1)
1+4
t
4
=1一t
4
故当且仅当1一t
4
≠0，即t≠±1时，方程组(*)仅有零解，此时β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关，从而可作为Ax=0的一个基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/zfARFFFM
0
考研数学二
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[*]
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