[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

admin2019-06-09 36

问题 [2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

选项

答案证一因待证等式可改写为[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=0，故作辅助函数 F(x)=f′(x)+f(x)一x，因F(1)=f′(1)+f(1)一1=f′(1)， F(一1)=f′(一1)+f(一1)+1=f′(一1)一f(1)+1=f′(一1)=f′(1) (因f′(x)为偶函数)．显然F(x)在[－1，1]上可导，满足罗尔定理的条件，由该定理知，存在η∈(一l，1)使 F′(η)=0，即[f′(x)+f(x)一x]′∣_x=ξ=f″(η)+f′(η)一1=0．证二待证等式可改写为[f′(η)一1]′+f′(η)一l=0，两边乘以e^η，则 e^η[f′(η)一1]′+e^η[f′(η)一1]={e^η[f′(η)一1]}′=0．于是令F(x)=e^x[f′(x)一1]．由(I)知存在ξ∈(0，1)使f′(ξ)=1，又因f′(x)为偶函数，故f′(一ξ)=f′(ξ)=1，则F(ξ)=e^ξ[f′(ξ)一1]=0， F(一ξ)=e^-ξ[f′(一ξ)一1]=e^-ξ[f′(ξ)一1]=0．在区间[一ξ，ξ]上对F(x)使用罗尔定理，得到存在η∈(－ξ，ξ)[*](一1，1)使得F′(η)=0．由F′(x)=e^x[f′(x)一1]+e^xf″(x)得到F′(η)=e^η[f′(η)一1]+e^ηf″(η)=0，即f″(η)+ f′(η)=1．

解析

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考研数学二

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[2013年] 设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f″(η)+f′(η)=1．

考研数学二

设f(μ，ν)具有连续偏导数，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

交换积分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy为()

设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值，使该图形绕x轴旋转一周所得立体的体积最小。

设f(x)=。求f(x)的值域。

求极限。

设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足f(xy，)=y2(x2一1)，则dz=________。

设f(x，y)连续，且f(x，y)=，其中D表示区域0≤x≤1，0≤y≤1，则=()

设函数f(μ)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)等于()

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1＋b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变化下的标准形为2y12+y22。

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法人成立的要件包括()。

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