[2013年]设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n一1)an=0(n≥2).S(x)是幂级数anxn的和函数. 求S(x)的表达式.

admin2019-04-08  114

问题 [2013年]设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n一1)an=0(n≥2).S(x)是幂级数anxn的和函数.
求S(x)的表达式.

选项

答案上题方程①为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为λ2一1=0,解得λ=±1,于是方程①的通解为 S(x)=c1ex+c2e-x(其中c1,c2为任意常数). ② 因 3=a0=a000=S(0), 1=a1=1·a1·00=S’(0), 因将S(0)=3与S’(0)=1,代入通解②及其导数S’(x)=c1ex一c2e-x中得到c1=2,c2=1,于是 S(x)=2ex+e-x

解析
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