下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )

admin2016-05-09  60

问题 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是(    )

选项 A、A-1正定
B、A没有负的特征值
C、A的正惯性指数等于n
D、A合同于单位阵

答案B

解析 A-1正定表明存在可逆矩阵C,使CTA-1C=In,两边求逆得到
    C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=In
    即A合同于In,A正定,因此不应选A.
    D是A正定的定义,也不是正确的选择.
    C表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵.由排除法,故选B.
    事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数.
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