2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使

admin2020-03-05  39
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：
(1)在(a，b)内，g(x)≠0；
(2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使
选项
答案(1)反证法．设存在一点c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在 [a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)．对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g’’(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)．与已知g’’(x)≠0矛盾，故g(c)≠0． (2)F(x)=f(x)g’(x)－f’(x)g(x)，F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上运用罗尔定理，故存在ξ∈(a，b)，使 [*]
解析
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考研数学一

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