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设F(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)<1,证明:2χ-∫0χf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
设F(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)<1,证明:2χ-∫0χf(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
admin
2021-11-09
22
问题
设F(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)<1,证明:2χ-∫
0
χ
f(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
选项
答案
令φ(χ)=2χ-∫
0
χ
f(t)dt-1, φ(0)=-1,φ(1)=1-∫
0
1
f(t)dt 由f(χ)<1得∫
0
1
f(t)dt<1,从而φ(1)=1-∫
0
1
f(t)dt>0, 由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(c)=0,即方程2χ-∫
0
χ
f(t)dt=1至少有一个实根. 因为φ′(χ)=2-f(χ)>0,所以φ(χ)在[0,1]上严格递增,故2χ-∫
0
χ
f(t)dt=1在(0,1)内有且仅有一个实根.
解析
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0
考研数学二
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