设f(x)连续，且∫0xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分12f(x)dx的值。

admin2019-12-06 47

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(x＋t)dt＝lnx＋1，已知f(2)＝1/2，求积分₁²f(x)dx的值。

选项

答案令u＝x＋t，则t＝u－x，dt＝du，根据换元积分法， ∫₀^xf(x＋t)dz ＝∫_x^2x(u－x)f(u)du ＝∫_x^2xuf(u)－x∫_x^2xf(u)du＝lnx＋1，在等式∫_x^2xuf(u)du－x∫_x^2xf(u)du＝lnx＋1两端同时对x求导可得 2xf(2x)×2－xf(x)－∫_x^2xf(u)du－x[2f(2x)－f(x)]＝1/x，移项合并得 ∫_x^2xf(u)＝2xf(2x)－[*]。在上式中，令x＝1，结合f(2)＝1/2，可得 ∫₁²f(u)du＝2×[*]－1＝0。

解析

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