已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cχ=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cχ=0的基础解系.

admin2016-05-09  46

问题 已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cχ=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cχ=0的基础解系.

选项

答案由已知可得A的行向量是Cχ=0的解,即CAT=0.则C(BA)T=CATBT=0BT=0.可见BA的行向量是方程组Cχ=0的解. 由于A的行向量是基础解系,所以A的行向量线性无关,于是m=r(a)=n-r(C). 又因为B是可逆矩阵,r(BA)=r(a)=m=n-r(C),所以BA的行向量线性无关,其向量个数正好是n-r(C),从而是方程组Cχ=0的基础解系.

解析
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