设f(x)是(-∞,+∞)内以T(T>0)为周期的连续函数,且f(-x)=f(x) 证明:∫0nTxf(x)dx=f(x)dx(n为正整数);

admin2022-06-09  44

问题 设f(x)是(-∞,+∞)内以T(T>0)为周期的连续函数,且f(-x)=f(x)
证明:∫0nTxf(x)dx=f(x)dx(n为正整数);

选项

答案用换元法 ∫0nTxf(x)dx[*]nT∫0nTf(t)dt-∫0nTtf(t)dt, 移项,得 ∫0nTxf(x)dx=nT/2∫0nTf(x)dx 又由f(x)以T为周期,知∫0nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx,故 ∫0nTxf(x)dx=n2T/2∫0Tf(x)dx

解析
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