设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f’(x)＜f(x)(x＞0),证明：f(x)＜ex(x＞0).

admin2021-11-25 8

问题设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f’(x)＜f(x)(x＞0),证明：f(x)＜e^x(x＞0).

选项

答案令ψ(x)=e^-xf(x),则ψ(x)在[0,+∞)内可导，又ψ(0)=1,ψ’(x)=e^-x[f’(x)－f(x)]＜0（x＞0），所以当x＞0时，ψ(x)＜ψ（0）=1，所以有f(x)＜e^x(x＞0）.

解析

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考研数学二

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