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  3. [201 5年] 设函数f(x)连续，φ(x)=∫0xxf(t)dt，若φ(1)=1，φ′(1)=5，则f(1)=__________.

[201 5年] 设函数f(x)连续，φ(x)=∫0xxf(t)dt，若φ(1)=1，φ′(1)=5，则f(1)=__________.

admin2019-04-05  54
问题 [201 5年]  设函数f(x)连续，φ(x)=∫0xxf(t)dt，若φ(1)=1，φ′(1)=5，则f(1)=__________.
选项
答案 先求φ′(x)的表达式，由此可求得f√(1)． φ′(x)=[x∫0x2f(t)dt]′=∫0x2f(t)dt+2x2f(x2)． ① 又由φ(1)=∫011·f(t)dt=∫01f(t)dt=1及式①得到 ∫01f(t)dt+2f(1)=φ′(1)=5， 故 2f(1)=5一∫01f(t)dt=5—1=4，即f(1)=2．
解析
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考研数学二

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