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设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,f(x)的值域为[0,+∞),且f’(x)>0,f(0)=0.又x=φ(y)为y=f(x)的反函数,对于常数a>0,b>0,试证明: ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy
设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,f(x)的值域为[0,+∞),且f’(x)>0,f(0)=0.又x=φ(y)为y=f(x)的反函数,对于常数a>0,b>0,试证明: ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy
admin
2017-10-23
47
问题
设y=f(x)在[0,+∞)上有连续的导数,f(x)的值域为[0,+∞),且f’(x)>0,f(0)=0.又x=φ(y)为y=f(x)的反函数,对于常数a>0,b>0,试证明:
∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy
选项
答案
设g(a)=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy—ab,则g’(a)=f(a)一b.令g’(a)=0,得b=f(a),即a=φ(b).当0<a<φ(b)时,由f’(x)>0有f(a)<f[φ(b)]=b,从而知g’(a)<0;当0<φ(b)<a时有f[φ(6)]=b<f(a),从而知g’(a)>0,所以g[φ(b)]为最小值,即 g[φ(b)]=∫
0
φ(b)
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy一φ(b)b. 由于 (g[φ(b)])’=f[φ(b)]φ’(b)+φ(b)一φ(b)一φ’(b)b =bφ’(b)+φ(b)一φ(6)一φ’(b)b≡0, 又 g[φ(0)]=∫
0
φ(0)
f(x)dx+∫
0
0
φ(Y)dy一φ(0)0=0(因φ(0)=0), 所以g[φ(b)]≡0,从而有 g(a)=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy—[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/teKRFFFM
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考研数学三
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