已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．

admin2019-05-11 35

问题已知β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，但不可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示．证明
(1)α_s不可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示；
(2)α_s可用α₁，α₂，…，α_s－1，β线性表示．

选项

答案由于β可用α₁，α₂，…，α_s线性表示，可设有表示式 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m， (Ⅰ) (1)用反证法如果α_s可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示；设α_s=t₁α₁+t₂α₂+…+t_m－1α_m－1，代入(Ⅰ)式得β用α₁，α₂，…，α_s－1的线性表示式： β=(k₁+t₁)α₁+(k₂+t₂)α₂+…+(k_m－1+t_m－1)d_m－1，与条件矛盾． (2)(Ⅰ)中的k_m≠0(否则β可用α₁，α₂，…，α_s－1线性表示)．于是有 [*]

解析

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考研数学二

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已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明 (1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示； (2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．

考研数学二

设f(χ)在[0，1]上有定义，且eχf(χ)与e-f(χ)在[0，1]上单调增加．证明：f(χ)在[0，1]上连续．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′－(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0．

设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫0χf(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．

微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解为_______．

设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E－3A｜＝0，则｜B-1＋2E｜＝_______．

微分方程y′－χe-y＋＝0的通解为_______．

设A为n阶可逆矩阵，A2＝｜A｜E．证明：A＝A*．

若函数f(χ)在[0，1]上二阶可微，且f(0)＝f(1)，｜f〞(χ)｜≤1，证明：｜f′(χ)｜≤在[0，1]上成立．

设方程组AX＝β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，－2)T线性表出，则a=________．

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