设f(χ)在[0，1]上有定义，且eχf(χ)与e-f(χ)在[0，1]上单调增加．证明：f(χ)在[0，1]上连续．

admin2017-09-15 25

问题设f(χ)在[0，1]上有定义，且e^χf(χ)与e^-f(χ)在[0，1]上单调增加．证明：f(χ)在[0，1]上连续．

选项

答案对任意的χ₀∈[0，1]，因为e^χf(χ)与e^－f(χ)在[0，1]上单调增加，所以当χ＜χ₀时，有[*] 故f(χ₀)≤f(χ)≤[*]f(χ₀)，令χ→χ₀^－，由迫敛定理得f(χ₀＝0)＝f(χ₀)；当χ＞χ₀时，有[*] 故[*]f(χ₀)≤f(χ)≤f(χ₀)，令χ→χ₀^＋，由迫敛定理得f(χ₀＋0)＝f(χ₀)，故f(χ₀－0)＝f(χ₀＋0)＝f(χ₀)，即f(χ)在χ＝χ₀处连续，由χ₀的任意性得f(χ)在[0，1]上连续．

解析

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考研数学二

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