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求证:x∈[0,1]时, ≤xp+(1-x)p≤1,p>1;1≤xp+(1-x)p≤,0<p<1.
求证:x∈[0,1]时, ≤xp+(1-x)p≤1,p>1;1≤xp+(1-x)p≤,0<p<1.
admin
2018-11-11
30
问题
求证:x∈[0,1]时,
≤x
p
+(1-x)
p
≤1,p>1;1≤x
p
+(1-x)
p
≤
,0<p<1.
选项
答案
令f(x)=x
p
+(1-x)
p
,则f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且有 f’(x)=p[x
p-1
-(1-x)
p-1
].令f’(x)=0得x=[*]. 易知 f(0)=f(1)=1,[*] 当p>1时,1>[*]=>f(x)在[0,1]的最大值为1,最小值为[*] =>[*]≤f(x)≤1,x∈[0,1]. 当0<p<1时,1<[*] => f(x)在[0,1]的最大值为[*],最小值为1 =>≤f(x)≤[*],x∈[0,1].
解析
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考研数学二
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