求常数k的取值范围，使得f(x)=kln(1+x)一arctanx当x>0时单调增加．

admin2014-02-05 42

问题求常数k的取值范围，使得f(x)=kln(1+x)一arctanx当x>0时单调增加．

选项

答案x∈(0，+∞)时f(x)单调增加[*]f^’(x)≥0(x∈(0，+∞))且在(0，+∞)的[*]子区间上f^’(x)≠0．f(x)=kln(1+x)一arctanx，则[*]若后≤0，则f^’(x)<0(x>0)，于是只需考察k>0的情形．令g(x)=kx²一x+k一1，则当x>0时f^’(x)与g(x)同号．由于g(x)满足[*]由此可见g(x)在(0，+∞)上的最小值[*]为使[*]必须且只需正数k满足[*][*]即使得f(x)=kln(1+x)一arctanx当x>0时是单调增函数的k是大于或等于[*]的一切正数．

解析

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