2. 考研
  3. 设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得 f"(ξ)=3∫24f(x)dx。

设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得 f"(ξ)=3∫24f(x)dx。

admin2019-07-19  23
问题 设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得
    f"(ξ)=3∫24f(x)dx。
选项
答案令F(x)=∫2xf(t)dt，可知F(x)三阶连续可导，由二阶泰勒公式得 [*] 因为f"(x)在[ξ1，ξ2][*](2，4)上连续，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上有界，故存在实数m和M(m≤M)，使得m≤[*]≤M成立，所以由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](2，4)，使得f"(ξ)=[*]，于是有f"(ξ)=3∫24f(x)dx。
解析
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考研数学一

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