2. 考研
  3. 设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=3/2的解.

设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=3/2的解.

admin2021-12-14  12
问题 设y=y(x)二阶可导，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=3/2的解.
选项
答案(1)dx/dy=1/y′，d2x/dy2=d/dy(dx/dy)·dx/dy=d/dx(dx/dy)·dx/dy=-y″(dx/dy)3.代入原方程得y″-y=sinx. (2)特征方程为r2-1=0，特征根为r1,2=±1， 因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=-1/2，故y*=-1/2sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-x-1/2sinx， 由初始条件得C1=1，C2=-1，满足初始条件的特解为y=ex-e-x-1/2sinx.
解析
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考研数学一

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