设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明: ∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx.

admin2018-11-22  18

问题 设函数f’(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:
abf2(x)dx≤ab[f’(x)]2dx.

选项

答案因为f2(x)=[f(x)-f(a)]2=[∫axf’(t)dt]2,而 [∫axf’(t)dt]2≤(x-a)∫ax[f’(t)]2dt≤(x-a)∫ab[f’(t)]2dt(柯西一施瓦茨不等式), 所以∫abf2(x)dx≤∫ab(x-a)dx∫ab[f’(t)]2dt=[*]∫ab[f’(x)]2dx.

解析
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