2. 考研
  3. 设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

admin2017-01-16  29
问题 设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
选项
答案由题设知曲线过点(0，0)，得c=0，即y=ax2+bx。 [*] 如图所示，从x→x+dx的面积dS=ydx，所以 S=∫01ydx=∫01(ax2+bx)dx=([*]bx2)|01 =[*] 由已知得[*] 当y=ax2+bx绕戈轴旋转一周时，则从x→x+dx的体积dV=πy2dx，所以旋转体积 V=∫01πy2dx=π∫01(ax2+bx)2dx=π[[*])，由b=[*]]，这是个含有a的函数，两边对a求导得 [*] 令其等于0，得唯一驻点a=-[*]＞0，此点为极小值点，亦即体积最小，这时b=3／2，故所求函数 y=ax2+bx+c=-[*]x。
解析
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考研数学一

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