设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为( )

admin2022-06-09 51

问题设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^T(2αα^T＋ββ^T)x的规范形为( )

选项 A、y₁²＋y₂²
B、y₁²＋y₂²－y₃²
C、y₁²－y₂²
D、y₁²－y₂²－y₃²

答案A

解析由(2αα^T＋ββ^T)^T＝2αα^T＋ββ^T，知2αα^T＋ββ^T是实对称矩阵，又
Aα＝(2αα^T＋ββ^T)α＝2α(α^Tα)＋β(β^Tα)＝2α，
Aβ＝(2αα^T＋ββ^T)β＝2α(α^Tβ)＋β(β^Tβ)＝β
知A有特征值λ₁＝2，λ₂＝1
又αα^T，ββ^T的秩均为1，所以
r(A)＝r(2αα^T＋ββ^T)≤r(αα^T)＋r(ββ^T)＝2＜3，
则｜A｜＝0＝λ₁λ₂λ₃＝2×1×λ₃，故λ₃＝0，即知正惯性指数为p＝2，负惯性指数q＝0，故A正确

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