已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α． ① 求xTAx的表达式． ② 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2020-06-11 53

问题已知三元二次型x^TAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)^T满足Aα=2α．
① 求x^TAx的表达式．
② 求作正交变换x=Qy，把x^TAx化为标准二次型．

选项

答案[*] 得2a一b=2，a一c=4，b+2c=一2，解出a=b=2，c=一2．此二次型为4x₁x₂+4x₁x₃—4x₂x₃．② 先求A特征值[*]于是A的特征值就是2，2，一4．再求单位正交特征向量组．属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解． [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组：x₁一x₂一x₃=0．显然β₁=(1，1，0)^T是一个解，设第二个解为β₂=(1，一1，c)^T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β₁，β₂．再把它们单位化：记[*]172属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．求出β₃=(1，一1，～1)^T是一个解，单位化：记[*]则η₁，η₂，η₃是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4．作正交矩阵Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^一1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4．作正交变换X=Qy，它把f(x₁，x₂，x₃)化为2y₁²+2y₂²一4y₃²．

解析

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考研数学二

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已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α． ① 求xTAx的表达式． ② 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

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