飞机以匀速v沿y轴正向飞行,当飞机行到原点时被发现,随即从x轴上点(x0,y0)处发射导弹向飞机击去,其中x0>0.若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数2v. (Ⅰ)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件; (Ⅱ)求导弹的运行轨迹

admin2014-11-26  46

问题 飞机以匀速v沿y轴正向飞行,当飞机行到原点时被发现,随即从x轴上点(x0,y0)处发射导弹向飞机击去,其中x0>0.若导弹的速度方向始终指向飞机,其速度大小为常数2v.
    (Ⅰ)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件;
    (Ⅱ)求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间T.

选项

答案(Ⅰ)设导弹在t时刻的坐标为A(x(t),y(t)),其运行轨迹方程为y==y(x).在某时刻t≥0,飞机的位置为B(0,vt),因为导弹的速度方向始终指向飞机,从而在t时刻,导弹运行轨迹曲线的切线斜率[*]与线段AB的斜率相等,于是有[*]两边对x求导数,得[*]因为导弹的速度大小为2v,所以[*]y=y(x)所满足的初始条件为y(x0)=0,y’(x0)=0. (Ⅱ)令[*],则上式可变为 [*]

解析
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