设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n．

admin2019-09-27 41

问题设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n．

选项

答案令B=(β₁，β₂，…，β_s)，因为AB=O，所以B的列向量组β₁，β₂，…，β_s为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n－r(A)，所以向量组β₁，β₂，…，β_s的秩不超过n－r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n－r(A)，即r(A)+r(B)≤n．

解析

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考研数学一

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