2. 考研
  3. 已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-27  46
问题 已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
选项
答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*-y3*=e-x，y2*-y3*=2e-x-e2x． 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=e-x，y2=2(y1*-y3*)-(y2*-y3*)=e2x， 它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*=y1*-y2=xex． 因此该非齐次方程的通解是y=C1e-x+C2e2x+xex，其中C1，C2为任意常数． 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’+py’+qy=f(x)． 它的相应特征根是λ1=-1，λ2=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0，即 λ2-λ-2=0． 因此方程为y’’-y’-2y=f(x)． 再将特解y4*=xex代入得 (x+2)ex-(x+1)ex-2xex=f(x)，即f(x)=(1-2x)ex 因此方程为y’’-y’-2y=(1-2x)ex．
解析
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考研数学二

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