设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

admin2013-04-04  50

问题 设向量α1,α2,...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.

选项

答案证法一:(定义法) 若有一组数k,k1,k2,…,kt,使得 kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0, 则因α1,α2,...,αt是Ax=0的解,知Aαi=0(i=1,2,…,t),用A左乘上式的两边,有 (k+k1+k2+…+kt)Aβ=0. 由于Aβ≠0,故k+k1+k2+…+kt=0. 重新分组为(k+k1+k2+…+kt)β+k1α1+k2α1+…+ttαt=0. k1α1+k2α1+…+ttαt=0. 由于α1,α2,...,αt是基础解系,它们线性无关,故必有 k1=0,k2=0,…,kt=0. k=0. 因此,向量组β,β+α1,...,β+αt线性无关. 证法二:(用秩) 经初等变换向量组的秩不变.把第1列的一1倍分别加至其余各列,有 (β,β+α1,β+α2,...,β+αt)→(β,α1,α2,…,αt). 因此 r(β,β+α1,β+α2,...,β+αt)=r(β,α1,α2,…,αt). 由于α1,α2,…,αt是基础解系,它们是线性无关的,秩r(α1,α2,…,αt)=t,又β必不能由α1,α2,…,αt 线性表出(否则Aβ=0),故 r(β,α1,α2,…,αt,β)=t+1. 所以 r(β,β+α1,β+α2,...,β+αt)=t+1. 即向量组β,β+α1,β+α2,...,β+αt线性无关.

解析
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