2. 考研
  3. 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可以是( )

设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可以是( )

admin2021-01-19  35
问题 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可以是(    )
选项 A、α1，α3。
B、α1，α2。
C、α1，α2，α3。
D、α2，α3，α4。
答案D
解析 因为齐次线性方程组Ax=0的基础解系只包含一个向量(1，0，1，0)T，所以矩阵A的秩r(A)=4—1=3，A的伴随矩阵的秩r(A*)是由r(A)确定的，即r(A*)=1。
r(A*)=1n一r(A*)=4—1=3。
从而方程组A*x=0的基础解系包含三个线性无关的解向量，因此，选项A，B是错误的。
又因为A*A=｜A｜E和｜A｜=0，因此矩阵A的列向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解，由前面的分析可知r(A)=3，故向量组α1，α2，α3，α4的秩也是3，则其中三个线性无关的向量即为A*x=0的一个基础解系。
最后，因为(1，0，1，0)T是Ax=0的解，因此
=(α1，α2，α3，α4)==0，
即α1+α3=0，则α1=一α3，因此可知α1，α2，α4(或者α2，α3，α4)线性无关，是A*x=0的一个基础解析，因此答案D是正确的。
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考研数学二

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