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  3. [2000年] 设f(x)在点x=a处可导，则函数∣f(x)∣在点x=a处不可导的充分条件是( )．

[2000年] 设f(x)在点x=a处可导，则函数∣f(x)∣在点x=a处不可导的充分条件是( )．

admin2021-01-19  52
问题 [2000年]  设f(x)在点x=a处可导，则函数∣f(x)∣在点x=a处不可导的充分条件是(    )．
选项 A、f(a)=0且f＇(a)=0   
B、f(a)=0且f＇(a)≠0
C、f(a)＞0且f＇(a)＞0
D、f(a)＜0且f(a)＜0
答案B
解析  利用命题1．2．2．1(2)或用排错法判定之．
解一  由命题1．2．2．1(2)知，仅(B)入选．
解二  下面证选项(B)正确．因题设f(x)仅在点x=a处可导，下面用导数定义证之．
设f(a)=0，f＇(a)≠0．不失一般性，设f＇(a)＞0，则由导数定义知
f＇(a)=＞0．
由极限的保号性得到在点x=a左侧，由于x－a＜0，有f(x)＜0；在点x=a右侧，由于x—a＞0，有f(x)＞0．令φ(x)=∣f(x)∣，则
φ＇-(a)==一f＇(a)＜0，
φ＇+(a)==f＇(a)＞0，
而f＇(a)≠0，从而φ(x)在点x=a处不可导，即∣f(x)∣在点x=a处不可导．
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考研数学二

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