2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明： (1)存在η∈(，1)，使得f(η)＝η； (2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明： (1)存在η∈(，1)，使得f(η)＝η； (2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．

admin2018-01-23  23
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，f()＝1，f(1)＝0．证明：
(1)存在η∈(，1)，使得f(η)＝η；
(2)对任意的k∈(－∞，＋∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．
选项
答案(1)令φ(x)＝f(x)－x，φ(x)在[0，1]上连续，[*]＞0，φ(1)＝－1＜0， 由零点定理，存在η∈([*]，1)，使得φ(η)＝0，即f(η)＝η． (2)设F(x)＝e－kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)＝F(η)＝ 0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)＝0，整理得f’(ξ)－k[f(ξ)－ξ]＝1．
解析
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考研数学三

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