设x→0时，ex2一(ax2＋bx＋c)是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则( )．

admin2016-01-25 35

问题设x→0时，e^x²一(ax²＋bx＋c)是比x²高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则( )．

选项 A、a＝c＝1，b＝0
B、a＝1，b＝2，c＝0
C、a＝c＝2，b＝0
D、a＝b＝1，c＝0

答案A

解析利用等价无穷小代换e^x²－x²－1～(x²)²／2简便求之．也可使用洛比达法则或泰勒展开式求之．
解一由题设有

故1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝c＝1，b＝0．仅(A)入选·
解二由式①及

[e^x²－(ax²＋bx＋c)]＝0，所以1－c＝0即c＝1．于是

解三利用e^x²＝1＋x²＋x⁴／2＋0(x⁴)，得到

故 1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝1，c＝1，b＝0．
仅(A)入选．

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考研数学三

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