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已知n维向量α1,α2,…,αs线性无关,如果n维向量β不能由α1,α2,…,αs线性表出,而γ可由α1,α2,…,αs线性表出,证明α1,α1+α2,α2+α3,…,αs-1+αs,β+γ线性无关。
已知n维向量α1,α2,…,αs线性无关,如果n维向量β不能由α1,α2,…,αs线性表出,而γ可由α1,α2,…,αs线性表出,证明α1,α1+α2,α2+α3,…,αs-1+αs,β+γ线性无关。
admin
2015-11-16
25
问题
已知n维向量α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,如果n维向量β不能由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,而γ可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,证明α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
s-1
+α
s
,β+γ线性无关。
选项
答案
证一 利用拆项重组法及线性无关的定义证之。 由题设γ可由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,可设 γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
, 又令 k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+…+k
s
(α
s
+α
s-1
)+k(β+γ)=0。 将其拆项重组得到 (k
1
+k
2
+kc
1
)α
1
+(k
2
+k
3
+kc
2
)α
2
+…+(k
s
+kc
s
)α
s
+kβ=0。 因α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,而β不能由α
1
,α
2
,…,α
s
线性表出,故α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性无关,因而 k=0, k
1
+k
2
+kc
1
=0, k
2
+k
3
+kc
2
=0, …, k
s
+kc
s
=0, 即 k
1
+k
2
=0,k
2
+k
3
=0,…,k
s-1
+k
s
=0,k
s
=0, 解得 k
1
=k
2
=…=k
s-1
=k
s
=0, 即α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
s-1
+α
s
,β+γ线性无关。 证二 注意到α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性无关,γ=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
s
α
s
,由 [*] 而α
1
,α
2
,…,α
s
,β线性无关,由矩阵表示法即知α
1
,α
2
,…,α
s
,β+γ线性无关。
解析
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考研数学一
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