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  3. 设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0,且=a＞0. 令an=－∫1nf(x)dx，证明：{an}收敛且0≤≤f(1).

设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0,且=a＞0. 令an=－∫1nf(x)dx，证明：{an}收敛且0≤≤f(1).

admin2021-11-25  37
问题 设f(x)在[1,+∞)内可导，f’(x)＜0,且=a＞0.
令an=－∫1nf(x)dx，证明：{an}收敛且0≤≤f(1).
选项
答案因为f’(x)＜0,所以f(x)单调减少。 又因为an+1－an=f(n+1)－∫nn+1f(x)dx=f(n+1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n,n+1]), 所以{an}单调减少。 因为an=[*]∫kk+1[f(k)－f(x)]dx+f(n),而∫kk+1[f(k)－f(x)]dx≥0(k=1,2,...,n－1) 且[*],所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0. 由f(x)单调递减得f(x)＞0（x∈[1,+∞)),故a≥f(n)＞0，所以[*]存在。 由an=f(1)+[f(2)－∫12f(x)dx]+...+[f(n)－∫n-1nf(x)dx], 而f(k)－∫k-1kf(x)dx≤0(k=2,3,...,n)，所以an≤f(1),从而0≤[*]≤f(1).
解析
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考研数学二

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