求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz,其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b>a>0)的交线(z≥0).L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边(如图10

admin2018-11-21  83

问题 求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz,其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b>a>0)的交线(z≥0).L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边(如图10.9).

选项

答案若写出L的参数方程直接计算比较复杂,可考虑用斯托克斯公式来计算. 记L所围的球面部分为∑,按L的方向与右手法则,取∑的法向量朝上,先利用曲线方程简化被积函数,然后用斯托克斯公式,得 I=∫L(2bx一x2)dx+(2bx一y2)dy+2axdz [*] 注意,∑关于zx平面对称,被积函数1对y为偶函数,于是[*]dzdx=0.记∑在xy平面的投影区域为 Dxy:(x一a)2+y2≤a2.因此I=2b[*]dxdy=2bπa2

解析
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