设数列{xn}满足x1>0,xn+1=sinxn,n=1,2,…。 证明xn存在;

admin2017-01-16  29

问题 设数列{xn}满足x1>0,xn+1=sinxn,n=1,2,…。
证明xn存在;

选项

答案由于x1>0,且-1≤sinx≤1,所以-1≤x2=sinx1≤1。由数学归纳法可知对一切的n=2,3,…,有-1≤xn≤1,则|xn|≤1,即数列{|xn|}有界。 又因为|xn+1|=|sinxn|<|xn|,所以数列{|xn|}单调递减且有界。 由单调有界准则可知,[*]|xn|存在。设该极限为a,对|xn+1|=|sinxn|两边取极限,得a=sina,显然a=0,即[*]|xn|=0,所以[*]xn=0。

解析
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