2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，t)使f(ξ+a)=f(ξ)．

设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，t)使f(ξ+a)=f(ξ)．

admin2019-12-26  40
问题 设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，t)使f(ξ+a)=f(ξ)．
选项
答案令F(x)=f(x+a)-f(x).因为f(x)在[0，1]上非负连续，f(x+a)应在[－a，1－a]上非负连续，于是F(x)在[0，1－a]上连续． 由于F(0)=f(a)－f(0)=f(0)≥0，F(1－a)=f(1)-f(1－a)=-f(1－a)≤0． (1)若F(=)=0， 则ξ=0即为所求； (2)若F(1－a)=0，则ξ=1－a即为所求； (3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0，则由介值定理，必存在ξ∈(0，1－a)[*](0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ+a)=f(ξ)． 综上所述，存在ξ∈[0，1)，使f(ξ+a)=f(ξ)．
解析
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考研数学三

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