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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1.
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明: 存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1.
admin
2020-10-21
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问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=
,f(1)=1,f’(1)=1,证明:
存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1.
选项
答案
取G(x)=[f(x)一x]e
x
,则G’(x)=[f"(x)+f’(x)一x一1]e
x
,显然G(x)在[ξ,1]上连续,在(ξ,1)内可导,G(ξ)=G(1)=0,由罗尔定理,存在η∈(ξ,1)[*](0,1),使得G’(η)=[f"(η)+f’(η)一η—1]
η
=0,即f"(η)+f’(η)一η=1.
解析
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考研数学二
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