设A是n阶矩阵,下列结论正确的是( )。

admin2019-05-27  39

问题 设A是n阶矩阵,下列结论正确的是( )。

选项 A、设r(A)=r,则A有r个非零特征值,其余特征值皆为零
B、设A为非零矩阵,则A一定有非零特征值
C、设A为对称矩阵,=2A,r(A)=r,则A有r个特征值为2,其余全为0
D、设 A、B为对称矩阵,且A、B等价,则A、B特征值相同

答案C

解析 取A=,显然A的特征值为0,0,1,但r(A)=2,(A)不对;设A=,显然A为非零矩阵,但A的特征值都是零,B不对;两个矩阵等价,则两个矩阵的秩相等,但特征值不一定相同,D不对,选C.事实上,令AX=λX,由A 2=2A得A的特征值为0或2,因为A是对称矩阵,所以A一定可对角化,由r(A)=r得A的特征值中有r个2,其余全部为零.
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