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  3. 设α1，α2……αn是n个n维向量，且已知a1x1+a2x2+…+anxn=0(*)只有零解．问方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn－1+αn)xn－1+(αn+α1)xn=0(**)何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求

设α1，α2……αn是n个n维向量，且已知a1x1+a2x2+…+anxn=0(*)只有零解．问方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn－1+αn)xn－1+(αn+α1)xn=0(**)何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求

admin2022-04-08  36
问题 设α1，α2……αn是n个n维向量，且已知a1x1+a2x2+…+anxn=0(*)只有零解．问方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn－1+αn)xn－1+(αn+α1)xn=0(**)何时只有零解?说明理由；何时有非零解?有非零解时，求出其通解．
选项
答案α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解[*]r(α1，α2……αn)=n[*]α1，α2……αn，线性无关．(α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1)=[*]=[α1，α2……αn]C记为B=AC，其中r(A)=(α1，α2……αn)=n．[*]①当n=2k+1时，｜C｜=2≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(**)只有零解②当n=2k时，｜C｜=0，C中有n一1阶子式Cn-1,n-1=1≠0，因，r(A)=n，故r(B)=rC=n-1．方程组(**)有非零解，其基础解系由一个非零解组成．因(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一…+(α2k－1+α2k)一(α2k+α1)=0，方程组(**)有通解k[1，一1，1，一1．…，1，一1]T，其中k是任意常数．或因A可逆，ACx=Bx=0和Cr=0同解，其中[*]r(B)=rC=2k一1，Bx=0有通解k[1，一1，1，一1．…，一1]，k是任意常数．
解析
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考研数学二

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