设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3. A能否相似于对角矩阵,说明理由.

admin2018-09-25  55

问题 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα21+2α2,Aα32+2α3
A能否相似于对角矩阵,说明理由.

选项

答案由第一小题知 (A-2E)[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3] [*] 故 A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3] [*] [α1,α2,α3]B. 因α1,α2,α3线性无关,故C=[α1,α2,α3]是可逆矩阵,则C-1AC=B,即A~B. 又B有三重特征值λ123=2,但 [*] r(2E-B)=2, (2E-B)x=0只有一个线性无关解向量,故B不能相似于对角矩阵A. 由相似关系的传递性知,A不能相似于对角矩阵A.

解析
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