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设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e4πt2+.试求f(t)
设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e4πt2+.试求f(t)
admin
2020-03-16
25
问题
设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程f(t)=e
4πt
2
+
.试求f(t)
选项
答案
先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 [*] 代入原方程得 f(t)=e
4πt
2
+2π∫
0
2t
[*]rdr(t≥0) 两边对t求导得f’(t)=8πte
4πt
2
+2π.f(t).2t.2,即 f’(t)-8πtf(t)=8πte
4πt
2
. ① 在前一个方程中令t=0得 f(0)=1.② 求f(t)转化为求解初值问题①+②.这是一阶线性方程,两边同乘e
-∫8πtdt
=e
-4πt
2
得 [e
-4πt
2
f(t)]’=8πt. 积分得e
-4πt
2
f(t)=4πt
2
+C. 由f(0)=1得C=1.因此f(t)=(4πt
2
+1)e
4πt
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/bTARFFFM
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考研数学二
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