2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

设二次型f(x1，x2，x3) =2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2016-01-11  37
问题 设二次型f(x1，x2，x3)
=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案记A=2ααT+ββT，因为α，β正交且均为单位向量，所以Aα=(2ααT+ββT)α=2α，Aβ=(2ααT+ββT)β=β，于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值，又r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2．所以λ3=0是A的另一特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
解析
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考研数学二

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