设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝0，若A的秩为3，则A与A相似于

admin2014-01-26 26

问题设A为4阶实对称矩阵，且A²＋A＝0，若A的秩为3，则A与A相似于

选项 A、

B、

C、

D、

答案D

解析 [详解]设λ为A的特征值，由A²＋A＝0，知特征方程为λ²＋λ＝0，所以λ＝－1或0．
由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A～A，r(A)＝r(A)＝3，因此

，
应选(D)．
[评注1]若A可对角化，则r(A)＝矩阵A的非零特征值的个数．
[评注2]本题由A²＋A＝0即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉．

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