设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A与A相似于

admin2014-01-26  30

问题 设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A与A相似于

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 [详解]设λ为A的特征值,由A2+A=0,知特征方程为λ2+λ=0,所以λ=-1或0.
由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A~A,r(A)=r(A)=3,因此

    应选(D).
    [评注1]若A可对角化,则r(A)=矩阵A的非零特征值的个数.
    [评注2]本题由A2+A=0即可得到A可对角化,因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.
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