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  3. 证明n阶矩阵相似．

证明n阶矩阵相似．

admin2021-01-25  53
问题 证明n阶矩阵相似．
选项
答案[*] 因为 |λE－A| [*] =(λ－1)λn－1 |λE－B| [*] =(λ－n)λn－1 所以A与B有相同的特征值λ1=n，λn=0(n－1重)． 由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ2E－B)=r(B)=1，所以B的对应于特征值λ2=0有n－1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似． 证2设存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p1，p2，pn]，则 AP=PB[*]A[p1，p2，…，pn] [*] [*]Ap1=0，…，Apn－1=0，…，Apn=p1+2p2+…+，npn． 由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=[p1，p2，…，pn] [*] 满足P－1AP=B，所以A相似于B．
解析 本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件．本题中计算行列式|λE－A|可以利用行(列)和相等行列式的计算方法．求实对称矩阵A的特征值还可以用下法：因为A的秩为1．所以A只有一个非零特征值λ1，其它特征值均为0：λ2=…=λn=0，再由λ1+λ2+…+λn=(A的对角元之和)n，知λ1=n．本题证法2是一个构造性的证明，当n≤4时计算满足P－1AP=B的矩阵P都是比较容易的，当然P不是唯一的．
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考研数学三

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