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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形。
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1—a)x12+(1—a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形。
admin
2019-03-23
33
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形。
选项
答案
当a=0时,A=[*],由特征多项式 |λE—A|=[*] =(λ—2)[(λ—1)
2
—1]=λ(λ—2)
2
=0, 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0。 当λ=2时,由(2E—A)x=0及系数矩阵 [*] 得两个线性无关的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
。 当λ=0时,由(OE—A)x=0及系数矩阵 [*] 得特征向量α
3
=(1,—1,0)
T
。 容易看出,α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化,即得 [*] 那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则在正交变换x=Qy下,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形f(x
1
,x
2
,x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
。
解析
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考研数学二
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