2. 考研
  3. 求f(χ，y，z)＝χ＋y－z2＋5在区域力：χ2＋y2＋z2≤2上的最大值与最小值．

求f(χ，y，z)＝χ＋y－z2＋5在区域力：χ2＋y2＋z2≤2上的最大值与最小值．

admin2022-09-14  18
问题 求f(χ，y，z)＝χ＋y－z2＋5在区域力：χ2＋y2＋z2≤2上的最大值与最小值．
选项
答案f(χ，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值． 第一步，先求f(χ，y，z)在Ω内的驻点． 由[*]f(χ，y，z)在Ω内无驻点，因此f(χ，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到． 第二步，求f(χ，y，z)在Ω的边界χ2＋y2＋z2＝2上的最大、最小值， 从边界方程χ2＋y2＋z2＝2解出z2＝2－χ2－y2代入f(χ，y，z)得 f(χ，y，z)[*]＝χ＋y＋χ2＋y2＋3[*]g(χ，y) 转化为求g(χ，y)在区域D：χ2＋y2≤2的最大、最小值． 先求g(χ，y)在D内驻点，解方程组 [*] 相应地[*] 再看D的边界χ2＋y2－2＝0．还用拉格朗日乘子法，令H(χ，y，λ)＝χ＋y＋χ2＋y2＋3＋λ(χ2＋y2－2)，解方程组 [*] 由前二个方程得χ＝y，代入第三个方程后得 χ＝y＝±1 因此得驻点(χ，y)＝(1，1)，(－1，1)，又 g(－1，－1)＝3，g(1，1)＝7 因此g(χ，y)在区域D，也就是f(χ，y，z)在区域Ω的最大值为7，最小值为[*]．
解析
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考研数学二

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