2. 考研
  3. 已知函数f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_______。

已知函数f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_______。

admin2021-01-19  24
问题 已知函数f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_______。
选项
答案5．2n－1
解析 由已知条件得f(0)=1，f’(x)=2(x+1)+2f(x)，则f’(0)=4，f"(x)=2+2f’(x)，且有f"(0)=10。
在等式f"(x)=2+2f’(x)两边同时对x求n－2阶导可得f(n)(x)=2f(n－1)(x)。则
f(n)(0)=2f(n－1)(0)=2n－2f"(0)=5．2n－1。
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考研数学二

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