设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则( )

admin2017-06-08  26

问题 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则(    )

选项 A、当m>n时,|AB|≠0.
B、当m>n时,|AB|=0.
C、当n>m时,|AB|≠0.
D、当n>m时,|AB|=0.

答案B

解析 本题考察AB的行列式|AB|,而条件显然是不能用来计算|AB|.而利用方阵“可逆<=>满秩”,转化为“r(AB)是否=AB的阶数m”的判断则是可行的.
有不等式
r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n}.
如果m>n,则
r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n}=n<m.
于是r(AB)<m,从而AB不可逆,|AB|=0.因此B成立.
(如果m<n,r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n}=m.不能断定r(AB)与m的关系,C,D都不一定成立.)
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