设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f=(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )．

admin2022-09-22 45

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Py下的标准形为2y₁²+y₂²-y₃²，其中P=(e₁，e₂，e₃)，若Q=(e₁，-e₃，e₂)，则f=(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为( )．

选项 A、2y₁²-y₂²+y₃²
B、2y₁²+y₂²-y₃²
C、2y₁²-y₂²-y₃²
D、2y₁²+y₂²+y₃²

答案A

解析由x=Py，故f=x^TAx=y^T(p^TAP)y=2y₁²+y₂²-y₃²，且
P^TAP=

由已知可得Q=P

=PB．因此Q^TAQ=B^T(p^TAP)B=

因此∫=X^TAx=y^T(Q^TAQ)y=2y₁²-y₂²+y₃²．

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考研数学二

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