设函数y=f(x)在区间[0,1]上非负、存在二阶导数,且f(0)=0,有一块质量均匀的平板D,其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形.用表示平板D的质心的横坐标.求证: 若f’’(x)>0(0≤x≤1),则(如图1-10-4

admin2021-07-08  40

问题 设函数y=f(x)在区间[0,1]上非负、存在二阶导数,且f(0)=0,有一块质量均匀的平板D,其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形.用表示平板D的质心的横坐标.求证:

若f’’(x)>0(0≤x≤1),则(如图1-10-4(b).

选项

答案令F(x)=[*],F(0)=0.又对任意x∈(0,1),有 [*] 因为f’’(x)>0,所以f’(x)>f’(ξ),于是F’’(x)>0,从而F’(x)在区间[0,1]上单调增加,因此当0<x≤1时,有F’(x)>F’(0)=0. 故F(x)在区间[0,1]上单调增加,F(1)>F(0)=0.所以有 [*]

解析
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