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  3. 设，B=U－1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

设，B=U－1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．

admin2019-03-21  24
问题 设，B=U－1A*U．求B+2E的特征值和特征向量．
选项
答案本题可先求出B+2E(先求A*，再求B，再求B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大．一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算． ①求特征值． A=C+E，其中 [*] 则C的特征值为0，0，6，从而A的特征值为1，1，7．｜A｜=1×1×7=7． 根据定理5．5的②，A*的特征值为7，7，1． B～A*，从而B和A*特征值完全一样，也是7，7，1． 用定理5．5的①，B+2E的特征值为9，9，3． ②求特征向量． A*与A的对应特征值(指1与7，7与1)的特征向量一样，B+2E与B对应特征值(指7与9，1与3)的特征向量也一样，根据定理5．8的④，A*η=λη<=>BU－1η=λU－1η．于是可以由A的特征向量来得到B+2E的特征向量 A的属于1的特征向量就是A*的属于7的特征向量，用U－1左乘后就是B的属于7的特征向量，也就是B+2E的属于9的特征向量． A的属于1的特征向量，即(A－E)X=0的非零解．求得(A－E)X=0的基础解系 η1=(1，－1，0)T，η2=(1，0，－1)T． 于是A的属于1的特征向量的为 c2η1+c2η2，c2，c2不全为0． 求出ξ1=U－1η1=(－1，1，0)T，ξ2=U－1η2=(1，1，－1)T，则B+2E的属于9的特征向量为 c1ξ1+c2ξ2，c2，c2不全为0． 同理，A的属于7的特征向量用U－1左乘后就是B+2E的属于3的特征向量． 求出A的属于7的特征向量(即(A－7E)X=0的非零解)为 cη，c不为0，其中η=(1，1，1)T， 记ξ=U－1η=(0，1，1)T，则B+2E的属于9的特征向量为 cξ，c≠0．
解析
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考研数学二

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